高等数学作为工科专业至关重要的基础学科，其知识体系广泛应用于物理、工程、计算机科学等众多领域。掌握高等数学中的各类公式，是理解和解决实际工程问题的关键。本文档旨在全面汇总高等数学（工科）中涉及的主要公式，为学习者提供一个系统且便捷的参考工具。

目录

1. 函数与极限
2. 导数与微分
3. 微分中值定理与导数的应用
4. 不定积分
5. 定积分
6. 定积分的应用
7. 微分方程
8. 向量代数与空间解析几何
9. 多元函数微分法及其应用
10. 重积分
11. 曲线积分与曲面积分
12. 无穷级数

正文

1. 函数与极限

1.1 函数相关公式

• 幂函数：$y = x^{\mu}$（$\mu$为常数）
• 指数函数：$y = a^{x}$（$a>0,a\neq1$），其特殊情况$y = e^{x}$
• 对数函数：$y=\log_{a}x$（$a > 0,a\neq1$），常用对数$y = \lg x$（$a = 10$），自然对数$y=\ln x$（$a = e$）
• 三角函数：
  • $\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$
  • $1+\tan^{2}x=\sec^{2}x$
  • $1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$
  • $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$
  • $\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$
  • $\tan(A\pm B)=\frac{\tan A\pm\tan B}{1\mp\tan A\tan B}$
• 反三角函数：
  • $\arcsin(-x)=-\arcsin x$
  • $\arccos(-x)=\pi - \arccos x$
  • $\arctan(-x)=-\arctan x$

1.2 极限相关公式

• 极限运算法则：
  • 若$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=B$，则$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$；$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$；$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\neq0)$
• 两个重要极限：
  • $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$
  • $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{x})^{x}=e$ 或 $\lim\limits_{t\rightarrow0}(1 + t)^{\frac{1}{t}}=e$

2. 导数与微分

2.1 导数定义

• 函数$y = f(x)$在点$x_{0}$处的导数：$f^\prime(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}$

2.2 基本求导公式

• $(C)^\prime = 0$（$C$为常数）
• $(x^{n})^\prime=nx^{n - 1}$（$n\in R$）
• $(a^{x})^\prime=a^{x}\ln a$（$a>0,a\neq1$），$(e^{x})^\prime = e^{x}$
• $(\log_{a}x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}$（$a>0,a\neq1$），$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$
• $(\sin x)^\prime=\cos x$
• $(\cos x)^\prime=-\sin x$
• $(\tan x)^\prime=\sec^{2}x$
• $(\cot x)^\prime=-\csc^{2}x$
• $(\sec x)^\prime=\sec x\tan x$
• $(\csc x)^\prime=-\csc x\cot x$
• $(\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
• $(\arccos x)^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
• $(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}$
• $(\text{arccot}x)^\prime=-\frac{1}{1 + x^{2}}$

2.3 求导法则

• 四则运算法则：
  • $(u\pm v)^\prime=u^\prime\pm v^\prime$
  • $(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$
  • $(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}(v\neq0)$
• 复合函数求导法则（链式法则）：若$y = f(u)$，$u = \varphi(x)$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f^\prime(u)\cdot\varphi^\prime(x)$

2.4 微分

• 函数$y = f(x)$的微分：$dy=f^\prime(x)dx$

3. 微分中值定理与导数的应用

3.1 中值定理

• 罗尔定理：若函数$y = f(x)$满足：（1）在闭区间$[a,b]$上连续；（2）在开区间$(a,b)$内可导；（3）$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f^\prime(\xi)=0$
• 拉格朗日中值定理：若函数$y = f(x)$满足：（1）在闭区间$[a,b]$上连续；（2）在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b - a)$
• 柯西中值定理：若函数$f(x)$和$g(x)$满足：（1）在闭区间$[a,b]$上连续；（2）在开区间$(a,b)$内可导；（3）对任意$x\in(a,b)$，$g^\prime(x)\neq0$，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}$

3.2 洛必达法则

• 对于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式，若$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$满足相应条件，则$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

3.3 函数单调性与极值

• 函数单调性判定：若在区间$(a,b)$内$f^\prime(x)>0$，则$f(x)$在$(a,b)$上单调递增；若$f^\prime(x)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$上单调递减
• 极值判定：
  • 第一充分条件：设函数$f(x)$在$x_{0}$处连续，且在$x_{0}$的某去心邻域内可导。若在$x_{0}$左侧$f^\prime(x)>0$，右侧$f^\prime(x)<0$，则$f(x_{0})$为极大值；若在$x_{0}$左侧$f^\prime(x)<0$，右侧$f^\prime(x)>0$，则$f(x_{0})$为极小值
  • 第二充分条件：设函数$f(x)$在$x_{0}$处具有二阶导数且$f^\prime(x_{0}) = 0$，$f^{\prime\prime}(x_{0})\neq0$。若$f^{\prime\prime}(x_{0})<0$，则$f(x_{0})$为极大值；若$f^{\prime\prime}(x_{0})>0$，则$f(x_{0})$为极小值

4. 不定积分

4.1 不定积分定义

• 若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int f(x)dx=F(x)+C$（$C$为任意常数）

4.2 基本积分公式

• $\int kdx=kx + C$（$k$为常数）
• $\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$（$n\neq - 1$）
• $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$（$a>0,a\neq1$），$\int e^{x}dx=e^{x}+C$
• $\int\sin xdx=-\cos x + C$
• $\int\cos xdx=\sin x + C$
• $\int\sec^{2}xdx=\tan x + C$
• $\int\csc^{2}xdx=-\cot x + C$
• $\int\sec x\tan xdx=\sec x + C$
• $\int\csc x\cot xdx=-\csc x + C$
• $\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\arcsin x + C$
• $\int\frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + C$

4.3 积分方法

• 换元积分法：
  • 第一类换元法（凑微分法）：$\int f[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)dx=\int f(u)du$（令$u = \varphi(x)$）
  • 第二类换元法：$\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt$（令$x=\varphi(t)$）
• 分部积分法：$\int u dv=uv-\int v du$

5. 定积分

5.1 定积分定义

• $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$，其中$\lambda=\max\{\Delta x_{1},\Delta x_{2},\cdots,\Delta x_{n}\}$

5.2 定积分性质

• $\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx$
• $\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数）
• $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$（$a < c < b$）
• 若在$[a,b]$上$f(x)\leq g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx$

5.3 牛顿 - 莱布尼茨公式

• 若$F(x)$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

6. 定积分的应用

6.1 平面图形的面积

• 由$y = f(x)$，$y = g(x)$，$x = a$，$x = b$（$a < b$）所围成图形的面积$A=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$
• 由$x = \varphi(y)$，$x = \psi(y)$，$y = c$，$y = d$（$c < d$）所围成图形的面积$A=\int_{c}^{d}|\varphi(y)-\psi(y)|dy$

6.2 旋转体的体积

• 由$y = f(x)$，$x = a$，$x = b$（$a < b$），$y = 0$所围成图形绕$x$轴旋转一周所得旋转体体积$V_{x}=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$
• 由$x = \varphi(y)$，$y = c$，$y = d$（$c < d$），$x = 0$所围成图形绕$y$轴旋转一周所得旋转体体积$V_{y}=\pi\int_{c}^{d}[\varphi(y)]^{2}dy$

6.3 平面曲线的弧长

• 曲线$y = f(x)$在$[a,b]$上的弧长$s=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(y^\prime)^{2}}dx$
• 曲线$\left\{\begin{array}{l}x = \varphi(t)\\y=\psi(t)\end{array}\right.$（$\alpha\leq t\leq\beta$）的弧长$s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^{2}+[\psi^\prime(t)]^{2}}dt$

7. 微分方程

7.1 一阶微分方程

• 可分离变量的微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，分离变量后$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$，两边积分求解
• 一阶线性微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$，其通解为$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$

7.2 二阶常系数线性齐次微分方程

• 方程形式：$y^{\prime\prime}+py^\prime+qy = 0$（$p,q$为常数），特征方程为$r^{2}+pr + q = 0$
• 若特征方程有两个不同实根$r_{1},r_{2}$，则通解为$y = C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$
• 若特征方程有两个相同实根$r_{1}=r_{2}=r$，则通解为$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}$
• 若特征方程有一对共轭复根$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$，则通解为$y = e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x+C_{2}\sin\beta x)$

8. 向量代数与空间解析几何

8.1 向量运算

• 向量加法：$\vec{a}+\vec{b}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})$
• 向量数乘：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_{x},\lambda a_{y},\lambda a_{z})$
• 向量点积：$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
• 向量叉积：$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\vec{i}-(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x})\vec{j}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\vec{k}$

8.2 平面方程

• 点法式方程：$A(x - x_{0})+B(y - y_{0})+C(z - z_{0}) = 0$，其中$\vec{n}=(A,B,C)$为平面的法向量，$(x_{0},y_{0},z_{0})$为平面上一点
• 一般式方程：$Ax + By+ Cz+D = 0$

8.3 直线方程

• 对称式方程：$\frac{x - x_{0}}{m}=\frac{y - y_{0}}{n}=\frac{z - z_{0}}{p}$，其中$\vec{s}=(m,n,p)$为直线的方向向量，$(x_{0},y_{0},z_{0})$为直线上一点
• 参数式方程：$\left{\begin{array