高等数学选择题

高等数学选择题考点总结

1.选择题

1）向量的加、减、乘、除、模、数量积、向量积运算：
2）全微分$dz=\frac {\delta z}{\delta x}dx + \frac {\delta z}{\delta y}dy$
3）可分离变量的微分方程：$g(y)dy=f(x)dx$
4）无穷级数的敛散性
5）二重积分的求解
6）曲线方程变换曲面方程
重点

• 绕哪个轴旋转，则将另一个变量的平方变为两个变量的平方和

7）极限的求解
8）三重积分的求解
重点

• 涉及到圆或球体方程，则根据对称性得出对应的三重积分为0，$\iiint 1dxdydz =$圆的面积（球的体积）
• 圆的面积公式为$\pi R^2$
• 球的体积公式为$\frac {4}{3} \pi R^3$

9）无穷级数的和
重点

• 等比级数的和为$\frac {a}{1-q}$其中a为首项，q为等比
• 等比级数的收敛条件为$|r|<1$
• 调和级数发散

10）微分方程的通解、特解
重点

• 一阶线性齐次微分方程的通解公式为$y=ce^{-\int p(x)dx}$
• 一阶线性非齐次方程的通解公式为$y=e^{-\int p(x)dx}\big(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c\big)$
• 二阶线性齐次微分方程的通解公式需转换成特征方程（一元二次方程）求解（求根公式为$\frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$，再根据解对应的形式写出通解（常用通解公式为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$）
• 二阶线性非齐次方程的通解需求出对应齐次方程的通解，再带入对应的值写出特解，根据特解对应的形式写出通解

2.计算题

1）根据点和直线方程的关系，求对应方程
解题思路

• 先判断所求方程和条件的关系（若与平面垂直，则与法向量平行，若与平面平行，则与法向量垂直）；
• 获取条件对应方程的方向向量；
• 若垂直，则采用$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$；
• 若平行，则采用$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$。

2）根据点和曲面方程，求切平面方程
解题思路

• 先根据曲面方程，分别求出方程的偏导数$F_x'、 F_y'、 F_z'$；
• 将坐标点带入对应的$F_x'、 F_y'、 F_z'$，求出法向量；
• 切面方程采用$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$。

3）根据点和函数，求梯度（grad）
解题思路

• 分别求出函数的偏导数$F_x'、 F_y'、 F_z'$；
• 将点带入对应梯度即可

4）根据函数，求偏导数
解题思路

• 若为普通函数，则直接求偏导数$F_x'、 F_y'、 F_z'$；
• 若为隐函数，则$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}，\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$

5）根据积分区域，求二重积分
解题思路

• 若积分区域为圆，则转换成极坐标形式（$x=rcos\theta、y=rsin\theta$）；
• 若积分区域非圆：则根据垂直面采用X型或Y型方法求解。

6）根据点和方程，求曲线积分的弧长
解题思路

• 由点和方程，判断出对应区域
• 弧长元素公式$ds = \sqrt {(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt {1+(\frac {dy}{dx})^2}dx =\sqrt {1+(y')^2}$

7）根据边界曲线，求曲线积分
解题思路

• 将积分$dx$部分的方程设为$P(x, y)$，$dy$部分的方程设为$Q(x, y)$；
• 求出$\frac {\delta Q}{\delta x}$和$\frac {\delta P}{\delta y}$；
• 根据格林公式（$I=\iint(\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y})dxdy$）求解

8）判断无穷级数敛散性
解题思路

• 比较判别法
• 比值判别法
• 根值判别法

9）求微分方程的通解、特解
解题思路

• 一阶线性齐次微分方程的通解公式为$y=ce^{-\int p(x)dx}$；
• 一阶线性非齐次方程的通解公式为$y=e^{-\int p(x)dx}\big(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c\big)$；
• 二阶线性齐次微分方程的通解公式需转换成特征方程（一元二次方程）求解（求根公式为$\frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$，再根据解对应的形式写出通解（常用通解公式为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$）；
• 二阶线性非齐次方程的通解需求出对应齐次方程的通解，再带入对应的值写出特解，根据特解对应的形式写出通解

10）求幂级数的收敛半径和收敛区间
解题思路

• 通过比值判别法求出对应极限$\rho$；
• 收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$，收敛区间$(-R, R)$

11）根据球面方程，求曲面积分
解题思路

• 分析积分区域；
• 若为球面，采用球坐标；
• 若非球面，采用投影法或截面法