高等数学

高等数学是工科专业的核心数学基础课程，涵盖极限、微积分、微分方程、级数等重要内容。本文系统整理工科高数所有知识点，通过定义解析、公式推导、典型例题和应用场景四维解读，助您快速掌握核心知识体系。

公式
笔记
考点总结

目录

1. 函数与极限
2. 导数与微分
3. 积分学
4. 微分方程
5. 空间解析几何
6. 多元微积分
7. 无穷级数
8. 附录

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1. 函数与极限

1.1 函数特性

• 有界性：$\exists M>0, |f(x)| \leq M$
• 奇偶性：
  • 奇函数：$f(-x) = -f(x)$（图像关于原点对称）
  • 偶函数：$f(-x) = f(x)$（图像关于y轴对称）

1.2 极限计算

• 重要极限：

  $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

  $$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$

• 洛必达法则：当$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$时：

  $$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

1.3 连续与间断

• 连续条件：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
• 间断点类型：

  graph LR
    间断点-->可去间断点
    间断点-->跳跃间断点
    间断点-->无穷间断点
    间断点-->震荡间断点

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2. 导数与微分

2.1 求导法则

类型	公式
四则运算	$(u \pm v)' = u' \pm v'$
乘积法则	$(uv)' = u'v + uv'$
商法则	$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
链式法则	$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

2.2 微分应用

• 曲率公式：

  $$K = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

• 泰勒展开：

  $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

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3. 积分学

3.1 积分方法

1. 分部积分法：

   $$\int u dv = uv - \int v du$$

2. 换元积分：
   • 三角代换：

     flowchart LR
       sqrt(a^2-x^2) --> x=asinθ
       sqrt(x^2+a^2) --> x=atanθ

3. 瑕积分判别：
   • 比较审敛法：若$|f(x)| \leq \frac{M}{x^p}$且$p>1$，则收敛

3.2 定积分应用

• 旋转体体积（绕x轴）：

  $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$$

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4. 微分方程

4.1 一阶方程解法

类型	解法
可分离变量	$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$
齐次方程	令$u = \frac{y}{x}$
一阶线性	积分因子法：$y = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right)$

4.2 二阶常系数方程

特征方程法：
方程$y'' + py' + qy = 0$，特征根：

• 两实根$r_1 \neq r_2$：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
• 重根$r$：$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$
• 虚根$\alpha \pm \beta i$：$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

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5. 空间解析几何

5.1 空间平面与直线

• 平面方程：

  $$Ax + By + Cz + D = 0$$

  （法向量$\vec{n} = (A, B, C)$）

• 直线对称式：

  $$\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$$

5.2 曲面积分

高斯公式：

$$\oiint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \vec{F} dV$$

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6. 多元微积分

6.1 偏导数与方向导数

• 全微分公式：

  $$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$

• 梯度方向：

  $$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$

6.2 二重积分计算

• 极坐标变换：

  $$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta$$

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7. 无穷级数

7.1 级数审敛法

方法	条件
比较审敛法	$u_n \leq v_n$且$\sum v_n$收敛
比值审敛法	$\lim \left
根值审敛法	$\lim \sqrt[n]{

7.2 傅里叶级数

周期为$2\pi$的函数展开：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

其中：

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx$$

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8. 附录

常见公式速查表

• 三角函数导数：
  $(\tan x)' = \sec^2 x$, $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• 积分公式：
  $\int \sec x dx = \ln | \sec x + \tan x | + C$

希腊字母对照表

大写	小写	读音
Α	α	alpha
Β	β	beta
Γ	γ	gamma

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📌 学习建议：

1. 结合图形理解空间解析几何
2. 通过物理应用题掌握微积分应用
3. 制作公式卡片强化记忆高频考点